持久图空间中的近似最近邻搜索

持久图是拓扑数据分析领域中的重要工具，用于描述过滤拓扑空间中特征的存在与量级。然而，当前将一张持久图与一组其他持久图比较的方法，其复杂度与图的数量呈线性关系，或无法提供性能保证。本文中，我们应用局部敏感哈希的概念来支持持久图空间中的近似最近邻搜索。给定一组 $\Gamma$ 包含 $n$ 张 $(M,m)$-有界持久图，每张至多 $m$ 个点，我们将每张图的各点舍入至立方格点上的点为每种可能舍入生成一密钥。具体而言，我们在多种分辨率下于每张图上固定网格，并考虑每张图到四个最近格点的舍入。随后，我们提出一个具有 $\tau$ 层 $\mathbb{D}_{\tau}$ 的数据结构，在每层存储 $\Gamma$ 中每张持久图的所有舍入，以兼顾不同格点分辨率、舍入及低持久性点的删除。该数据结构大小为 $O(n5^m\tau)$。为搜索持久图，我们通过将各点舍入至格点并删除低持久性点来计算查询图的密钥。此外，随着格点参数减小，在我们的数据结构中搜索可在 $O((m\log{n}+m^2)\log\tau)$ 时间内给出 $\Gamma$ 中最近图的六倍近似，并在 $O((m\log{n}+m^2+k)\log\tau)$ 时间内给出第 $k$ 近图的常数因子近似。