符号特征、Lipschitz-free 空间与持久图路径

持久图路径提供了一族单参数度量空间动态拓扑结构的摘要。这些摘要可用于研究和刻画数据的动态形状，例如多智能体系统中的集群行为、神经科学中随时间变化的 fMRI 扫描，以及流体动力学中随时间变化的标量场。尽管持久图能提供强有力的数据拓扑摘要，标准的持久图空间缺乏许多理论与计算分析所需的充分代数与分析结构。我们通过将持久图等距嵌入到由泛构造得到的 Banach 空间——Lipschitz-free 空间——来丰富持久图空间。我们利用该 Banach 空间结构定义有界变差的持久图路径，可使用路径符号（path signature）来研究，后者是对取值于 Banach 空间的路径的重新参数化不变刻画。该符号具有普适性与特征性，使我们能从理论上刻画路径空间上的测度，并促使在核方法背景下使用它。然而，核方法常需要将特征映射到 Hilbert 空间，因此我们引入矩映射（moment map）——一种对静态持久图稳定且单射的特征映射——并将其与离散路径符号复合，产生可计算的到 Hilbert 空间的特征映射。最后，我们将此方法应用于三维集群行为模型的参数估计问题，以展示所提方法的有效性。