和度量的持续同调

给定有限度量空间 $(X, d_X)$ 与 $(Y, d_Y)$，我们研究配备和度量 $d_X + d_Y$ 的笛卡尔积 $X \times Y$ 的持续同调 $PH_*(X \times Y)$。将持续同调解释为多项式环上的模时，人们可能预期通常的 K"unneth 短正合列成立。我们证明它对 $PH_0$ 与 $PH_1$ 成立，并以 Hamming 立方 $\{0,1\}^k$ 说明它对 $PH_n,\,\, n \geq 2$ 不成立。对于 $n = 2$，由期望的 K"unneth 短正合列对 $PH_2(X \times Y)$ 的预测到真实的 $PH_2(X \times Y)$ 存在一个自然满射。我们对 Hamming 立方的分裂 $\{0,1\}^k = \{0,1\}^{k-1} \times \{0,1\}$ 计算了该满射的非平凡核。对所有 $n \geq 0$，$PH_n(X \times Y)$ 的预测与真实持续同调之间的交织距离以上确界不超过 $X$ 与 $Y$ 直径的最小值。作为具有独立意义的初步结果，我们建立了系数域为 $\kappa$、指数为 $\mathbb{R}_+ = [0,\infty)$ 的多项式环 $\kappa[\mathbb{R}_+]$ 上单纯模的代数 K"unneth 公式，以及 $\mathbb{R}_+$-过滤单纯集的持续同调的 K"unneth 公式——这两个 K"unneth 公式在所有同调维数 $n \geq 0$ 均成立。