关于单关系元（one-relator monoid）的方程与一阶理论

我们研究单关系元中的方程组与一阶理论。我们描述了一族 $\mathcal{F}$ 形式的单关系元 $\langle A\mid w=1\rangle$，其中对于 $\mathcal{F}$ 中的每个元 $M$，带长度约束的字的等式这一长期未决的可判定性问题可归约为 $M$ 中的丢番图问题（即方程组的可判定性）。我们通过仅在方程组与长度关系下在 $M$ 中解释一个自由元来实现这一结果。由此可知，$\mathcal{F}$ 中的每个元都具有不可判定的正 AE-理论，因此特别地它具有不可判定的一阶理论。该族 $\mathcal{F}$ 包含许多带挠率的单关系元 $\langle A\mid w^n = 1\rangle$（$n>1$）。相比之下，所有带挠率的单关系群都是双曲的，且已知所有双曲群都具有可判定的丢番图问题。我们进一步描述了一类具有可判定丢番图问题的不同单关系元。