映射类群在曲面未测度叶状空间上作用的刚性定理

设 $S$ 为一个有限型曲面，且不是至多有四个穿孔的球面、至多有两个穿孔的环面或亏格为二的闭曲面。令 $\mathcal{MF}$ 为 $S$ 上紧支撑测度叶状结构的等价类空间，令 $\mathcal{UMF}$ 为 $\mathcal{MF}$ 的商空间，其通过识别两个可由拓扑等价叶状结构表示的等价类而得到，即忽略横向测度。$S$ 的扩展映射类群 $\Gamma^*$ 作为 $\mathcal{UMF}$ 的同胚群作用其上。我们证明了整个 $\mathcal{UMF}$ 同胚群的作用在 $\mathcal{UMF}$ 的某个稠密子集上的限制，与 $\Gamma^*$ 在该子集上的作用相一致。更确切地说，令 $\mathcal{D}$ 为 $S$ 上不一定连通、本质、两两不相交且两两不同伦的简单闭曲线的同伦类集合在 $\mathcal{UMF}$ 中的自然像。集合 $\mathcal{D}$ 在 $\mathcal{UMF}$ 中稠密，它在 $\Gamma^*$ 对 $\mathcal{UMF}$ 的作用下是不变的，且 $\Gamma^*$ 在 $\mathcal{D}$ 上作用的限制是忠实的。我们证明了群 $\mathrm{Homeo}(\mathcal{UMF})$ 在 $\mathcal{D}$ 上作用的限制与 $\Gamma^*(S)$ 在该子空间上的作用相一致。