关于映射类群在曲面覆盖同调上的作用

设 $\phi \in {\rm Mod}(\Sigma)$ 是亏格至少为 $2$ 的闭可定向曲面 $\Sigma$ 的映射类群中的任意元素。对于任意特征覆盖 $\widetilde{\Sigma} \to \Sigma$,可考虑线性子空间 ${\rm H}_1^{f.o.}(\widetilde{\Sigma}, \mathbb{Q})^\phi \subseteq {\rm H}_1(\widetilde{\Sigma}, \mathbb{Q})$,它由所有具有有限 $\phi$-轨道的同调类组成。我们证明,对任意固定的 $\phi \in {\rm Mod}(\Sigma)$,$\dim {\rm H}_1^{f.o.}(\widetilde{\Sigma}, \mathbb{Q})^\phi$ 可以任意大。