哈密顿圆作用的拓扑性质

本文研究哈密顿圆作用，即闭辛流形 (M,ω) 的哈密顿辛同胚群 Ham(M,ω) 中的圆子群。我们的主要工具是 π_1(Ham(M,ω)) 在量子同调环的单位元中的 Seidel 表示。我们证明，若矩映射取最大值处的作用权值充分小，则该圆表示 π_1(Ham(M,ω)) 中的一个非零元。进一步，若迷向群阶数至多为 2 且该圆在 Ham(M,ω) 中可缩，则 M 的同调在某一对合下不变。例如，归一化矩映射的像为对称区间 [-a,a]。若该作用为半自由（即迷向权值为 0 或 ±1），则我们计算出 Seidel 表示中的首项，这是理解容许半自由哈密顿圆作用的流形之量子上同调的重要技术工具。若该流形为环面流形，我们利用关于此表示的结果来描述任意环面流形的量子上同调环的基本乘法结构。有两个重要的技术要素：其一将 M 的等变上同调与矩映射的莫尔斯流相联系，其二是用于计算具 S^1 作用的辛流形上 Gromov–Witten 不变量的局部化原理的一个版本。