双曲体积、模2同调与k-自由性

我们证明，若$M$是任意闭的可定向双曲$3$-流形且${\rm vol}\ M\le3.69$，则有${\rm dim}\ H_1(M;{\bf F}_2)\le7$。这可视为对Culler和Shalen结果的一种定性改进，因为常数$3.69$大于双曲$3$-流形有限体积良序集中对应于$\omega^2$的序数。我们还证明，若${\rm vol}\ M\le 3.77$，则有${\rm dim}\ H_1(M;{\bf F}_2)\le10$。这些结果是一类新方法的应用，该方法用于获得闭的可定向双曲$3$-流形体积的的下界，且满足对给定$k\ge4$有$\pi_1(M)$为$k$-自由。在其他应用中我们证明，若$\pi_1(M)$为$4$-自由则有${\rm vol}\ M>3.57$（改进了Culler和Shalen给出的$3.44$下界），若$\pi_1(M)$为$5$-自由则有${\rm vol}\ M>3.77$。