具有 $k$-自由基本群的双曲 3-流形

Culler 和 Shalen 关于 2-、3-或 4-自由双曲 3-流形的结果依赖于自由群中秩为 2 的子群所特有的性质。在此，我们确定了为了对任意大于 4 的 $k$ 值，关于具有 $k$-自由基本群的闭可定向双曲 3-流形 $M$ 作出几何陈述，需要何种构造和代数信息。主要结果既展示了通用陈述应如何表述（Culler 和 Shalen 的结果是其特例），又表明该陈述在一个群论猜想成立的前提下为真。一个主要成果涉及 $k=5$ 情形下的几何陈述。具体而言，我们证明了所需的群论猜想在此情形下确实成立，因此当 $M$ 为 5-自由时，所提出的几何陈述确为一个定理。随后，可以利用该定理得出的点 $P$ 的存在性以及关于 $\pi_1(M,P)$ 的知识，尝试改进 $M$ 体积的已知下界，目前该下界为 3.44。