双曲三维流形同余塔中的 Heegaard 亏格

给定一个闭合双曲三维流形 $M$，我们构造了一个具有递增 Heegaard 亏格的覆盖塔，并给出了此类覆盖的 Heegaard 亏格作为其度数函数的显式下界。利用类似方法，我们证明对于任意 $\epsilon>0$，存在无穷多个同余覆盖 $\{M_i\}$，使得对于任意 $x \in M$，$M_i$ 包含一个嵌入球 $B_x$（以 $x$ 为中心），满足 $\text{vol}(B_x) > (\text{vol}(M_i))^{\tfrac{1}{4}-\epsilon}$。在算术非紧情形下，我们得到了类似结果。