双曲三维流形中 CMC 1-嵌入曲面的研究

常数均值曲率（CMC）1-嵌入是双曲几何中自然而略显奇异的对象，具有有趣的应用。首先，Bryant 揭示了关于 CMC $1$-嵌入到 $\mathbb H^3$（即 Bryant 表面）与（亲戚）嵌入到 $\mathbb E^3$ 之间的惊人关系。此外，针对曲面 $S$（闭合、可定向、且氮化 $\mathfrak{g} \geq2$）的 CMC 嵌入动机来源于 Uhlenbeck 将其与基本群 $\pi_{1}(S)$ 进入 $PSL(2,\mathbb{C})$ 的不可约表示联系起来。然而，一个 CMC 1-嵌入紧凑曲面可能发展出奇点（在有限个点处出现孔），事实上，在我们分析中，均值曲率值为 1 作为一个“临界”参数进入。事实上，Huang-Lucia-Tarantello 表明，CMC $c$-嵌入到双曲三维流形的曲面仅在 $|c | <1$ 时存在，且由曲面的 Teichmueller 空间切空间中的元素参数化。更重要的是，CMC $1$-嵌入仅作为 $|c| \to 1^-$ 的“极限”获得。一般情况下，通向极限可能因可能的 blow-up 现象而受阻，这些现象通过 Kodaira 图及其合适的延拓（分别对应氮化 $\mathfrak{g}=2$ 和 $\mathfrak{g}=3$）来捕获。本文处理任意氮化的曲面的情况。在定理中，我们能够通过一种合适的“正交”条件涵盖 blow up 情形。随后，我们在合适的“通用”条件下提供了 CMC 1-嵌入的存在性和唯一性，见定理 2。