高维数中的最小超曲面 Calabi-Yau 猜想

本文研究维度 $n\ge 3$ 的完整最小超曲面 $\Sigma^{n}\subset \mathbb{R}^{n+1}$ 的 Calabi-Yau 猜想。这些猜想询问完整最小超曲面是否必须是无界的，以及更强的假设是否必须是 proper。对于无界性问题，我们证明了一个曲线-弧估计，用于曲率有界的嵌入最小盘，表明固有距离由外在距离的多项式控制。另一方面，通过粘接技术，我们构造了一个在每个 $n\ge 3$ 的情况下都是 complete 且 improperly embedded 的最小超曲面 $\mathbb{R}^{n+1}$。这个例子表明，Colding-Minicozzi 在 $n=2$ 情况下的 properness 猜想在高维数中失败。