次黎曼$3$-空间型中 Pansu 球的存在性、刻画与稳定性

设$M$为具有常数 Webster 标量曲率$\kappa$的完备 Sasakian 次黎曼$3$-流形。对于任意点$p\in M$及任意满足$\lambda^2+\kappa>0$的实数$\lambda$，我们证明了存在一个浸入$M$中的$C^2$球面$\mathcal{S}_\lambda(p)$，其具有常数平均曲率$\lambda$。我们的构造特别恢复了第一 Heisenberg 群和次黎曼$3$-球中 Pansu 球的描述。随后，我们研究了与面积泛函相关的$\mathcal{S}_\lambda(p)$的变分性质。首先，我们获得了球面$\mathcal{S}_\lambda(p)$作为体积约束下面积临界点的唯一性结果，从而为黎曼$3$-空间型中 CMC 曲面的 Hopf 定理和 Alexandrov 定理提供了次黎曼对应物。其次，我们推导了允许移动奇异集的容许形变的第二变分公式，并证明对于保持体积的形变，$\mathcal{S}_\lambda(p)$是面积的二阶极小值。最后，我们将结果应用于次黎曼$3$-空间型中的等周问题。