关于赫伯茨群中均匀曲率泛函的意外现象
微分几何
2026-05-29 v1
摘要
欧几里得范式认为球面在均匀曲率变分问题中具有最优性，在亚黎斯几何的赫伯茨群中被证明不成立：既不是 Pansu 球也不是 Kor\'anyi 球是与赫伯茨群相关联的变分问题（即与 Minkowski 不等式和 Heintze-Karcher 不等式相关）的最优解。针对这一现象，我们发展了一种针对水平均匀曲率驱动的几何问题的变分理论，聚焦于总均匀曲率泛函及其相关的 Minkowski 不等式。为探讨这一现象，我们首先建立了任意黎曼流形中一般均匀曲率泛函的变分公式及二阶变分公式，然后通过黎曼近似方案获得了赫伯茨群中的相应公式。随后我们专注于在第一个赫伯茨群中对总均匀曲率在面积约束下的优化，引入适当的非特征 stationary 性和稳定性概念。我们识别出一种新的一参数旋转不变临界曲面族，称为 Pansu-Minkowski 球。其中，我们证明了一员称尊的成员——最优 Pansu-Minkowski 球——作为 Minkowski 商的唯一临界点，并在 Pansu-Minkowski 球中唯一最小化它。我们证明了 Pansu-Minkowski 球在旋转不变扰动下的非特征稳定性和局部最小性，同时指出其在不受限制的扰动下不稳定。
引用
@article{arxiv.2605.29912,
title = {Unexpected phenomena for mean curvature functionals in the Heisenberg group},
author = {Mattia Fogagnolo and Andrea Pinamonti and Simone Verzellesi},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.29912},
year = {2026}
}