Heisenberg 群 H^1 中的面积平稳曲面
微分几何
2007-05-23 v2 度量几何
摘要
我们利用变分论证引入了赋予 Carnot-Carathéodory 距离的 Heisenberg 群 H^1 中曲面的平均曲率概念。通过分析面积的一阶变分,我们将 C^2 面积平稳曲面刻画为平均曲率为零(若假设保体积条件则为常数)且特征曲线与奇异曲线正交的曲面。此外,对于围住给定区域的保体积面积平稳曲面,我们得到了联系面积、平均曲率与体积的 Minkowski 型公式。作为面积平稳曲面刻画的推论,我们改进了先前的 Bernstein 型定理,以描述 H^1 中 xy 平面上的整体面积平稳图。一个校准论证表明这些图是全局面积极小的。最后,利用已知的奇异集描述、面积平稳曲面的刻画以及常平均曲率曲面的直纹性质,我们证明了主要结果,即对 H^1 中具有非空奇异集的保体积面积平稳曲面进行了分类。特别地,我们推导出 Euclidean 空间中 Alexandrov 唯一性定理在 H^1 中的对应结论: H^1 中任一紧致、连通、C^2 的在体积约束下面积平稳的曲面,必与由具有相同曲率的连结两点的所有测地线之并所得到的旋转对称球面全等。由此,我们在假设解为 C^2 光滑的前提下解决了 H^1 中的等周问题。
引用
@article{arxiv.math/0512547,
title = {Area-stationary surfaces in the Heisenberg group H^1},
author = {Manuel Ritoré and César Rosales},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0512547},
year = {2007}
}
备注
37 pages, 3 figures; corrected typos, very recent references added