紧致 $3$-流形上对称 Beltrami 流的存在性与结构

我们证明，对于黎曼流形上几乎每一个给定的对称变换，都存在一个旋度算子的特征向量场，对应于非零特征值，并满足该对称性。更确切地说，给定一个光滑、紧致、有向黎曼 $3$-流形 $(\bar{M},g)$（边界可能为空）以及一个等距变换的光滑流 $\phi_t:\bar{M}\rightarrow \bar{M}$，我们证明若 $\bar{M}$ 有非空边界或无穷小生成元非纯调和，则存在一个光滑向量场 $X$，与边界相切，它是旋度的特征场并满足 $(\phi_t)_{*}X=X$，即在对称变换的推前下不变。我们接着证明，若所涉及的量为实解析的且 $(\bar{M},g)$ 有非空边界，则 Arnold 结构定理适用于所有满足对称性与适当边界条件的旋度特征场。更一般地，我们证明结构定理适用于所有具有非消失螺旋度并满足某种非平凡对称性的实解析向量场。我们证明的一个副产品是对有边界与无边界的紧致、连通、可定向 $3$-流形上实解析 Killing 场之流的刻画。