向 Helfrich 流引入自发曲率：奇点与收敛性

尽管关于 Willmore 流的长时间行为已有各种结果，但作为其自然推广的具有非零自发曲率的 Helfrich 流尚未得到充分理解。关于局部面积和体积约束的 Willmore 流的梯度流的以往结果表明存在有限时间奇点，这与底层能量的标度行为相对应。然而，对于非零自发曲率，其标度行为的结论并不明确。事实上，在本文中，我们发现如果初始曲面在能量上接近球面，负自发曲率对应于局部约束 Helfrich 流的有限时间奇点。然而相反地，在正自发曲率的情况下，我们在收敛行为方面得到了一个正面结果：从具有适当小 Helfrich 能量的球面浸入开始的局部面积约束 Helfrich 流全局存在，并在重新参数化后收敛到一个 Helfrich 浸入。此外，这种能量小性假设由一个显式的能量阈值给出，该阈值取决于自发曲率和能量的局部面积约束。