曲面曲率在理论物理中的若干应用

在本综述文章中，我们给出曲面曲率在理论物理中的两类应用。第一类应用源于生物物理中涉及称为 Helfrich 弯曲能的均值曲率型能量极小化的细胞囊泡形状研究。在此形式下，细胞囊泡的平衡形状可呈现丰富的几何与拓扑特征。我们首先证明，由自发曲率导致的障碍使得在嵌入环环面集合上不存在 Helfrich 能量的极小元。随后我们提出一种尺度不变的各向异性弯曲能，其推广了 Canham 能量，并证明在所有参数区间内（除重标度外）存在唯一的环面能量极小元。此外，我们建立了所提能量的某些依赖于亏格的拓扑下界与上界，而已知 Helfrich 能量缺乏此类界。我们也给出了相应背景下的形状方程，推广了 Helfrich 形状方程。第二类应用源于天体物理中宇宙弦背景下早期宇宙物质吸积机制的探寻。在此形式下，引力可简单地存储于二维曲面之上，从而 Einstein 张量由曲面的 Gauss 曲率给出，而该曲率直接与物质部门的哈密顿能量密度相关。这一设定清晰地展示了系统底层几何、物质能量与拓扑表征之间的相互作用。在两处应用领域中，我们都遭遇了极具挑战性的非线性偏微分方程问题。我们表明，对这些方程的研究有助于我们理解所考虑的理论物理问题。