由亚纯函数给出的${\rm SU}(n+1)$ Toda系统的解

我们考虑定义在${\Bbb C}$中的单连通区域$\Omega$上的${\rm SU}(n+1)$ Toda系统，其$n=1$的情形与Liouville方程$\Delta u+8e^u=0$一致。Liouville的一个经典结果表明，该方程在$\Omega$上的解可以由$\Omega$上的某个非退化亚纯函数表示。我们从这样的$\Omega$上的亚纯函数出发，构造了一族由${\rm PSL}(n+1,\,{\Bbb C})/{\rm PSU}(n+1)$参数化的${\rm SU}(n+1)$ Toda系统的解，这推广了Liouville的结果。作为一个应用，我们通过紧黎曼曲面上的锥球度量，找到了一类新的具有奇异源的、可解的${\rm SU}(n+1)$ Toda系统。