一维立方非线性薛定谔系统的分类与非简并性

我们研究以下一维立方非线性薛定谔系统：\n$$\n u_i''+2\Big(\sum_{k=1}^N u_k^2\Big)u_i=-\mu_i u_i \quad \mbox{在}\ \mathbb{R}, \quad i=1,2,\cdots,N,\n$$\n其中 $\mu_1\le\mu_2\le\cdots\le\mu_N<0$ 且 $N\ge 2$。本文主要聚焦于 $N=3$ 的情形，并证明以下结果：(i) 该系统的解可被完全分类；(ii) 取决于 $\mu_1\le\mu_2\le\mu_3<0$ 的显式值，存在两类不同的归一化解 $u=(u_1,u_2,u_3)$，满足对所有 $i=1,2,3$ 有 $\int_{\mathbb{R}} u_i^2 dx=1$，这与 $N=2$ 的情形截然不同；(iii) 系统任意非平凡解处的线性化算子是非简并的。对于 $N>3$ 的情形，也给出了关于该系统解的显式分类与非简并性的猜想。这些结果回应了 [R. Frank, D. Gontier and M. Lewin, CMP, 2021] 中的问题，该文已证明了 $N=2$ 情形下系统的完全分类与唯一性结果。