双幂非线性薛定谔方程及其推广：唯一性、非退化性与应用

本文首先证明关于形如 $\Delta u+g(u)=0$ 的方程的正径向解的唯一性与非退化性的一般结果。我们的结果尤其适用于双幂非线性情形，其中 $g(u)=u^q-u^p-\mu u$，$p>q>1$ 且 $\mu>0$，我们对此进行了更详细的讨论。在此情形下，唯一解 $u_\mu$ 的非退化性使我们能够推导其在两个极限 $\mu\to0$ 与 $\mu\to\mu_*$ 下的性态，其中 $\mu_*$ 为存在性阈值。这给出了在特定 regime 下固定质量能量极小元的唯一性。我们还关于 $u_\mu$ 的 $L^2$ 质量随 $\mu$ 的变化提出一个猜想，并以数值模拟加以说明。若成立，该猜想将意味着所有情况下能量极小元的唯一性，并给出关于 $u_\mu$ 轨道稳定性的重要信息。