通过哈密顿约化对 Toda 晶格的正则化

由哈密顿量 $H={1\over 2} \sum_{i=1}^n p_i^2 + \sum_{i=1}^{n-1} \nu_i e^{q_i-q_{i+1}}$（其中 $\nu_i\in \{ \pm 1\}$）定义的 Toda 晶格，若某些 $\nu_i=-1$ 则会出现奇异（爆裂）解，它可视为自由粒子在群 $G=SL(n,\Real )$ 上运动的子系统的对称约化所得约化系统。该子系统为 $T^*G_e$，其中 $G_e=N_+ A N_-$ 由具正主子式的行列式为 1 的矩阵组成，且约化基于极大幂零群 $N_+ \times N_-$。利用 Bruhat 分解我们证明，从 $T^*G$ 得到的完全正则的完全约化系统包含 $2^{n-1}$ 个 Toda 晶格。更确切地说，若 $n$ 为奇数，约化系统包含所有具有不同 $\nu_i$ 符号的可能 Toda 晶格。若 $n$ 为偶数，则存在两个具有不同组成 Toda 晶格的非同构约化系统。Toda 晶格占据约化相空间中互不相交的开子流形，在其中它们通过粘合而被正则化。我们给出约化相空间作为 ${\Real}^{2n-1}$ 中超曲面的模型。若对所有 $i$ 有 $\nu_i=1$，我们证明对 $n=2,3,4$ 与 $T^*G_e$ 关联的 Toda 相空间是该超曲面的一个连通分支。该构造对其他单李群的推广亦给出。