具有奇点的 Liouville 方程组径向解的分类

设 $A=(a_{ij})_{n\times n}$ 为一个非负、对称、不可逆且可逆的矩阵。我们证明了以下具有奇点的 Liouville 方程组径向解的存在性和唯一性：$$\{{array}{ll} \Delta u_i+\sum_{j=1}^n a_{ij}|x|^{\beta_j}e^{u_j(x)}=0,\quad \mathbb R^2, \quad i=1,...,n \int_{\mathbb R^2}|x|^{\beta_i}e^{u_i(x)}dx<\infty, \quad i=1,...,n {array}.$$ 其中 $\beta_1,...,\beta_n$ 是大于 -2 的常数。如果所有 $\beta_i$ 均为负数，我们证明所有解均为径向的，且线性化系统是非退化的。