将尖峰粘合到临界 Moser-Trudinger 方程的非零极限剖面

Druet [6] 证明，若 $(f_\gamma)_\gamma$ 是一列具有临界增长的 Moser-Trudinger 型非线性项，且 $(u_\gamma)_\gamma$ 满足 $$\begin{cases} &\Delta u =f_\gamma(x,u)\,,~~ u>0\text{ in }\Omega\,,\\ &u =0\text{ on }\partial\Omega\,, \end{cases}$$ 并在 $H^1_0$ 中弱收敛于某 $u_\infty$，则 Dirichlet 能量被量化，即存在整数 $N\ge 0$ 使得 $u_\gamma$ 的能量收敛于 $4\pi N$ 加上 $u_\infty$ 的 Dirichlet 能量。作为获得 [7] 中一般存在性结果的关键一步，近期在 [8] 中证明，对于一类特定非线性项，紧性丧失（即 $N>0$）意味着 $u_\infty\equiv 0$。相反，我们在此证明存在 Moser-Trudinger 型非线性项序列 $(f_\gamma)_\gamma$，其容许具有非平凡弱极限的非紧解序列 $(u_\gamma)_\gamma$。