准规范化解 quasilinear Schrödinger-Poisson 系统在有界域中的解

本文考察含临界非线性项的准线性 Schrödinger-Poisson 系统：$$-\Delta u + \phi u + \lambda u = |u|^{q-2} u + |u|^4 u, \quad x \in \Omega_r,$$ $$-\Delta \phi - \varepsilon^4 \Delta_4 \phi = u^2, \qquad\qquad\qquad\quad\ x \in \Omega_r,$$ $$\enspace u = \phi = 0, \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\enspace\ \ \,x \in \partial \Omega_r$$ 受规范化条件约束：$$\int_{\Omega_r} |u|^2\, \mathrm d x = b^2.$$ 其中 $\varepsilon > 0$，$q \in (2, 8/3)$，$\Omega_r \subset \mathbb R^3$ 为有界域。通过截断法结合基数理论，我们建立了多个规范化解的存在性。由于临界指数的存在，相关能量泛函无法满足常规的紧凑性质。为此我们引入浓度-紧凑性原理。此外，我们推导了该系统当 $\varepsilon \to 0$ 时归约为经典 Schrödinger-Poisson 系统的渐近结果。我们的发现扩展了若干近期相关问题的研究成果。