关于穿孔域上带变强度 sinh-Poisson 型方程的注记

我们考虑穿孔域上带变强度和 Dirichlet 边界条件的 sinh-Poisson 型方程 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} \Delta u +\rho\left(V_1(x)e^{u}- V_2(x)e^{-\tau u}\right)=0 &\text{in } \Omega_\epsilon:=\Omega\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^m \overline{B(\xi_i,\epsilon_i)}\\ u=0&\text{on }\partial\Omega_\epsilon, \end{array}\right. \end{equation*} 其中 $\rho>0$，$V_1,V_2>0$ 是 $\Omega$ 中的光滑势函数，$\tau>0$，$\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的光滑有界域，$B(\xi_i,\epsilon_i)$ 是以 $\xi_i\in \Omega$ 为中心、半径为 $\epsilon_i>0$ 的球，$i=1,\dots,m$。当 $\rho>0$ 足够小且 $m_1\in \{1,\dots,m-1\}$ 时，存在足够小的半径 $\epsilon=(\epsilon_1,\dots,\epsilon_m)$，使得该问题有一个解，当 $\rho\to 0$ 时在 points $\xi_1,\dots,\xi_{m_1}$ 处正爆破，在 points $\xi_{m_1+1},\dots,\xi_{m}$ 处负爆破。该结果在 $m_1=0$ 且 $V_1\equiv 0$ 以及 $m_1=m$ 且 $V_2\equiv 0$ 的情形下依然成立，这些属于 Liouville 型方程。