NLS 方程在度量图上的 blow-up 分析与先验估计

我们在连通度量图 G 上考察一族非线性 Schrödinger 方程\n$$-u'' + W_n(x) u + \lambda_n u = \rho_n(x)|u|^{p-2}u, \quad n \in \mathbb{N}. \qquad (*)$$\n我们假设 p > 2，(W_n)，(ρ_n) ⊆ L^∞(G) 且 ρ_n ≥ 0，|W_n|_{L^∞(G)} 和 |ρ_n|_{L^∞(G)} 有上界且 λ_n → +∞。给定 n ∈ ℕ，我们称满足 (*) 且在顶点处满足基尔霍夫条件的函数 u_n ∈ H^1(G) 为“解”。聚焦于序列 (u_n) ⊆ H^1(G) 作为 λ_n → +∞ 的极限行为，假设 u_n 的 Morse 指数 m(u_n) 有上界，我们建立了存在有限基点集，使得在这些基点之外，至多取子列后，|u_n| 具有全局指数衰减。这些基点通常是 blow-up 基点的严格子集，其个数由 (u_n) 的 Morse 指数上界估计。这是首次在图上建立此全局指数衰减性质，即便只考虑符号解亦然。在论文最后，我们推导了关于解在 L^∞ 和 L^2 中的先验估计的各种结果。我们的 blow-up 分析结合 ODE 方法，对于常见的图类，可较为完整地描绘节点区域数、Morse 指数、L^∞ 与 L^2 范数之间的关系。