非局部特征值问题中的爆破现象：$L^1$ 与 $L^2$ 理论的交汇

我们针对有界区域中具齐次 Dirichlet 外部条件（含与不含奇异边界数据）的非局部特征值问题 $\mathcal L u = \lambda u + f$（涉及积分微分算子）发展了非常弱解的线性理论。我们对算子的 Green 函数和标准形式特征基考虑了温和假设。心中所想的主要例子是分数阶 Laplacian 算子。在无奇异边界数据且当 $\lambda$ 不是算子特征值时，我们构造了解的 $L^2$-投影理论，并将其推广到算子 $\mathcal L$ 数据的最优空间。当 $\lambda$ 趋于特征空间时我们给出了 Fredholm 抉择并刻画了可能的爆破极限。主要的新要素是正交性向测试函数的转移。随后我们将结果推广到奇异边界数据并研究所谓的极大解，其在边界处爆破。对于该问题，我们证明对任意正则值 $\lambda$，存在边界奇异而内部正则的“大特征函数”。我们也能够在此情形下给出 Fredholm 抉择，当 $\lambda$ 逼近谱值时。当算子为 $L^2$-正时，我们还获得了加权 $L^1$ 解的最大值原理。它给出了当第一特征值从下方逼近时的全局爆破现象。最后，在 Green 函数的温和假设下，当分数阶指数趋于 1 时我们恢复了经典的 Dirichlet 问题。因此“大特征函数”代表了一种纯非局部现象。