具有小耦合系数的微扰非线性薛定谔系统的非标准解

在本文中，我们考虑如下弱耦合非线性薛定谔系统 \begin{equation*} \left\{ \begin{array}{ll} -\epsilon^{2}\Delta u_1 + V_1(x)u_1 = |u_1|^{2p - 2}u_1 + \beta|u_1|^{p - 2}|u_2|^pu_1, & x\in \mathbb{R}^N,\\ -\epsilon^{2}\Delta u_2 + V_2(x)u_2 = |u_2|^{2p - 2}u_2 + \beta|u_2|^{p - 2}|u_1|^pu_2, & x\in \mathbb{R}^N, \end{array} \right. \end{equation*} 其中 $\epsilon>0$，$\beta\in\mathbb{R}$ 为耦合常数，$2p\in (2,2^*)$ 且 $2^* = \frac{2N}{N - 2}$（当 $N\geq 3$ 时）以及 $+\infty$（当 $N = 1,2$ 时），$V_1$ 和 $V_2$ 属于 $C(\mathbb{R}^N,[0,\infty))$。当 $p\ge 2$ 且 $\beta>0$ 适当小时，我们证明该问题有一族非标准解 $\{w_{\epsilon} = (u^1_{\epsilon},u^2_{\epsilon}):0<\epsilon<\epsilon_{0}\}$ 在 $V_1$ 和 $V_2$ 的公共局部极小值处同步聚集。本文中 $V_i(i=1,2)$ 的所有衰减率均可容许，且可允许 $\beta>0$ 接近于 $0$。此外，聚集点的位置由局部 Pohozaev 恒等式给出。我们的证明基于变分方法和惩罚技巧。