薄区域中非局部等周问题的极小化子级联

对于薄矩形区域 $\Omega_\e=(0,\e)\times (0,1)$，我们考虑二维非局部等周问题的极小化：$$\inf_u E^{\gamma}_{\Omega_\e}(u)$$ 其中 $$E^{\gamma}_{\Omega_\e}(u):= P_{\Omega_\e}(\{u(x)=1\})+\gamma\int_{\Omega_\e}\abs{\nabla{v}}^2\,dx$$ 极小化是在满足质量约束 $\fint_{\Omega_\e}u=m$（其中 $m\in (-1,1)$）的竞争函数 $u\in BV(\Omega_\e;\{\pm 1\})$ 上进行的。此处 $P_{\Omega_\e}(\{u(x)=1\})$ 表示集合 $\{u(x)=1\}$ 在 $\Omega_\e$ 中的周长，$\fint$ 表示积分平均，$v$ 表示 Poisson 问题 $$-\Delta v=u-m\;\mbox{in}\;\Omega_\e,\quad\nabla v\cdot n_{\partial\Omega_\e}=0\;\mbox{on}\;\partial\Omega_\e,\quad\int_{\Omega_\e}v=0.$$ 的解。我们证明了当 $\e\ll 1$ 时，条纹图案是极小化子，且随着 $\gamma\to\infty$，条纹数量以 $\gamma^{1/3}$ 的速度增长。随后，我们将此结果推广至更高维情形。