关于由极小曲面方程外 Dirichlet 问题解构成的叶状结构之存在性

给定 $\mathbb{R}^{n}$ ($n\geq3$) 中具有 $C^{2,\alpha}$ 边界的外区域 $\Omega$，我们得到一族参数化解 $u_{\gamma}\in C^{\infty}\left(\Omega\right)$, $\left\vert \gamma\right\vert \leq\pi/2$，满足极小曲面方程，使得当 $\left\vert \gamma\right\vert <\pi/2$ 时，$u_{\gamma}\in C^{\infty}\left( \Omega\right) \cap C^{2,\alpha}\left( \overline{\Omega}\right)$，$u_{\gamma}|_{\partial\Omega}=0$ 且 $\max_{\partial\Omega}\left\Vert \nabla u_{\gamma}\right\Vert =\tan\gamma$；当 $\left\vert \gamma\right\vert =\pi/2$ 时，$u_{\gamma}$ 的图包含于 $C^{1,1}$ 流形 $M_{\gamma}\subset\overline{\Omega}\times\mathbb{R}$ 中，且 $\partial M_{\gamma}=\partial\Omega$。这些函数均有界且渐近于常数 $$c_{\gamma}=\lim_{\left\Vert x\right\Vert \rightarrow\infty}u_{\gamma}\left( x\right) .$$ 映射 $\gamma\rightarrow u_{\gamma}\left( x\right)$(对固定 $x\in\Omega$)与 $\gamma\rightarrow c_{\gamma}$ 均严格递增且有界。这些函数的图叶状化 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的开子集 $$\left\{ \left( x,z\right) \in\Omega\times\mathbb{R}\text{, }-u_{\pi /2}\left( x\right) <z<u_{\pi/2}\left( x\right) \right\} .$$ 此外，若 $\mathbb{R}^{n}\backslash\Omega$ 满足最大半径为 $\rho$ 的内球条件，且 $\partial\Omega$ 包含于最小半径为 $\varrho$ 的球中，则 $$\left[ 0,\sigma_{n}\rho\right] \subset\left[ 0,c_{\pi/2}\right] \subset\left[ 0,\sigma_{n}\varrho\right] ,$$ 其中 $$\sigma_{n}=\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{\sqrt{t^{2\left( n-1\right) }-1}}.$$ 上述包含之一为等式当且仅当 $\rho=\varrho$、$\Omega$ 是半径为 $\rho$ 的球外区域且解为径向的。