负幂次 Alt-Phillips 泛函的一致密度估计与 $\Gamma$-收敛

我们得到了涉及负幂次势的 Alt-Phillips 泛函极小元 $u \ge 0$ 的自由边界密度估计 $$\int_\Omega \left(|\nabla u|^2 + u^{-\gamma} \chi_{\{u>0\}}\right) \, dx, \quad \quad \gamma \in (0,2).$$ 当参数 $\gamma \to 2$ 时，这些估计保持一致。作为推论，我们证明了当 $\gamma \to 2$ 时，相应的自由边界一致收敛到一个极小曲面。这些结果基于这些能量（经过适当重标度）向 Dirichlet-周长泛函 $$\int_\Omega |\nabla u|^2 dx + Per_{\Omega}(\{ u=0\}),$$ 的 $\Gamma$-收敛，该泛函曾由 Athanasopoulous、Caffarelli、Kenig 和 Salsa 研究。