Gagliardo范数驱动的变分模型的密度估计

我们证明了能量泛函 $$\eps^{2s}\|u\|_{H^s(\Omega)}^2+\int_\Omega W(u)\,dx$$ 的极小化子的水平集的密度估计，其中 $s \in (0,1)$，$\|u\|_{H^s(\Omega)}$ 表示 $u$ 的 $H^s$ 范数中来自 $\Omega$ 的总贡献，$W$ 是一个双阱势。作为推论，当 $\eps \to 0$ 时，我们得到 $u$ 的水平集一致收敛到：若 $s\in(0,\frac 1 2)$，则收敛到 $H^s$-非局部极小曲面；若 $s \in[\frac 1 2,1)$，则收敛到经典极小曲面。