基于 Sobolev 不等式的具退化双井势非局部变分模型密度估计

我们给出了能量 $\frac{1}{2} \int_{\Omega}\int_{\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}}dxdy+\int_{\Omega}\int_{\mathbb{R}^n\setminus\Omega} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{n+sp}}dxdy+\int_{\Omega}W(u(x))dx$ 极小值水平集的密度估计，其中 $p\in(1,+\infty)$ 且 $s\in\left(0,\frac{1}{p}\right)$，$W$ 是从极小值点起具有多项式增长 $m\in [p,+\infty)$ 的双井势。这类势是“退化”的，因为它们从极小值点“缓慢”脱离，因此如果人们希望确定“层”和“纯相”的相对大小，它们会带来额外的困难。为了克服这些挑战，我们引入了新的障碍，使我们能够依赖分数阶 Sobolev 不等式和一种合适的迭代方法。此处给出的证明足够稳健，可以考虑由分数阶 $p$-Laplacian 驱动的拟线性非局部方程的情形，但我们的结果即使对于 $p=2$ 的情形也是全新的。