屏蔽粒子趋向等距基态的动力学

本文处理由负分数阶半范数的梯度流驱动的经验测度趋向等距基态的动力学。具体而言，我们考虑实线上由 Lebesgue 测度屏蔽的周期经验测度 $\mu$，即 $\mu-d x$ 的均值为零。对于每个测度 $\mu$，我们关联一个（周期）函数 $u$ 满足 $u'= d x - \mu$。对于 $s\in (0,\frac 12)$，我们引入能量泛函 $\mathcal E^s(\mu)$，可理解为 $u$ 的 $s$-Gagliardo 半范数每单位长度的密度。由于对于 $s\ge \frac 12$，$s$-Gagliardo 半范数在具有跳跃的函数上为无穷大，因此需要某种正则化过程：对于 $s\in[\frac 12,1)$，我们定义 $\mathcal E_\e^s(\mu):= \mathcal E^s(\mu_\e)$，其中 $\mu_\varepsilon$ 是在 $\varepsilon$ 尺度上对 $\mu$ 进行磨光得到的。我们证明 $\mathcal E^s$ 和 $\mathcal E_\varepsilon^s$ 的极小值子是格距等于一的粒子等距构型。然后，我们证明相应梯度流指数收敛至等距稳态。最后，尽管对于 $s\in[\frac 12 ,1)$ 能量泛函 $\mathcal E_\varepsilon^s$ 在 $\varepsilon\to 0$ 时趋于无穷，其梯度（关于 $\varepsilon$）一致有界，使得相应轨迹在 $\varepsilon\to 0$ 时收敛至某个合适重整化能量的梯度流解。