度量空间中梯度流的加权能量耗散原理

本文发展了所谓的加权能量耗散（WED）变分方法，用于分析度量空间中的梯度流。该方法聚焦于轨迹的依赖于参数的全局时间泛函的极小化 $$\mathcal{I}_\varepsilon[u] = \int_0^{\infty} e^{-t/\varepsilon}\left( \frac12 |u'|^2(t) + \frac1{\varepsilon}\phi(u(t)) \right) \dd t,$$ 其具有能量项与耗散项的加权和。当参数 $\varepsilon$ 趋于~$0$ 时，此类泛函的极小化子 $u_\varepsilon$ 在取子列意义下收敛到由泛函 $\phi$ 驱动的最大斜率曲线。这给出了一个新颖且一般的变分逼近过程，从而给出了度量梯度流的一个新的存在性证明。此外，它为松弛提供了一种新视角。