Poisson方程的变号解

设 $\Omega$ 为欧几里得空间 $\R^m$ 中具有边界 $\partial\Omega$ 的开集（可能无界），设 $A$ 为 $\Omega$ 的可测子集且测度为 $|A|$，并设 $\gamma \in (0,1)$。我们研究方程 $-\Delta v=\gamma{\bf 1}_{\Omega \setminus A}-(1-\gamma){\bf 1}_{A}$ 在 $\partial \Omega$ 上满足 $v=0$ 的解 $v_{\Om,A,\gamma}$ 是否变号。我们得到了用 $\Om$ 的几何特征（Dirichlet Laplacian谱底、挠率、测度或边界的 $R$-光滑性）表示的 $|A|$ 的界限，使得 ${\rm essinf} v_{\Om,A,\gamma}\ge 0$。我们证明，对于任何可测集 $A$，只要 $|A| >\gamma |\Om|$，就有 ${\rm essinf} v_{\Om,A,\gamma}<0$。该值是精确的。我们还研究了在给定测度下使 $v_{\Om,A,\gamma}$ 本质下确界最小化的 $A$ 的最优位置形状优化问题。令人惊讶的是，如果 $\Om$ 是一个球体，则会出现对称破缺现象。