关于具有各向同性和各向异性四阶色散的 Schr"odinger 方程

本文处理与具有各向同性和各向异性混合色散的非线性四阶 Schr"odinger 方程相关的 Cauchy 问题。该模型由方程 $i\partial _{t}u+\epsilon \Delta u+\delta A u+\lambda|u|^\alpha u=0,$ $x\in \mathbb{R}^{n},$ $t\in \mathbb{R}$ 给出，其中 $A$ 代表算子 $\Delta^2$（各向同性色散）或 $\sum_{i=1}^d\partial_{x_ix_ix_ix_i},\ 1\leq d<n$（各向异性色散），且 $\alpha, \epsilon, \lambda$ 为给定的实参数。我们在低正则性的初始数据空间（如弱-$L^p$ 空间）中获得了局部和全局适定性结果。我们的分析还包括双调和和各向异性双调和方程（$\epsilon=0$），其中自相似解的存在性是为其缩放不变性的结果。在第二部分中，我们在弱-$L^p$ 空间框架下研究了二阶色散消失的极限。我们还分析了非线性四阶 Schr"odinger 方程 $i\partial _{t}u+\epsilon \Delta u+\delta \Delta^2 u+\lambda|u|^\alpha u=0$ 的解，当 $\epsilon$ 趋于零时，在 $H^2$-范数下收敛到相应双调和方程 $i\partial _{t}u+\delta \Delta^2 u+\lambda|u|^\alpha u=0$ 的解。