平面上各向异性非线性 Schrödinger 模型的孤立波

考虑聚焦型各向异性非线性 Schrödinger 方程 \begin{align*} \mathrm{i} u_t-\partial_{xx} u + (-\partial_{yy})^s u=|u|^{p-2}u \quad \mbox{in}\ \mathbb{R} \times \mathbb{R}^2 \end{align*}，其中 $0<s<1$ 且 $p>2$。此处方程为各向异性，意味着解沿 $x$ 轴与 $y$ 轴的色散不同。我们证明，虽然局域时间周期波（即形如 $u=e^{-\mathrm{i} \omega t} \phi$ 的解）在 $p\geq p_s:=\frac{2(1+s)}{1-s}$ regime 中不存在，但它们在互补 regime $2<p<p_s$ 中存在。事实上，我们变分地构造了它们并建立了若干关键性质。重要的是，我们完全刻画了它们的谱稳定性性质。我们的考虑易于推广到高维情形。我们还证明了在自然弱非退化假设下这些波的唯一性。该假设在 $s$ 接近 $1$ 时实际被移除，意味着在全参数范围内波的唯一性。