双曲非线性薛定谔方程的一些 $L^\infty$ 解及其稳定性

考虑 $\mathbb{R}^d$ 上的双曲非线性薛定谔方程 (HNLS) $$iu_t + u_{xx} - \Delta_{\textbf{y}} u + \lambda |u|^\sigma u=0.$$ 我们推导出与 (HNLS) 相关的守恒律，并观察到守恒量所提供的信息不足。我们构造了几类特殊解，包括空间平面波和空间驻波，它们从不属于 $H^1$。受此启发，我们构建了包含 $H^1$ 解和这些特殊类的合适函数空间，并在这些空间上证明局部适定性。此外，我们证明了空间平面波和空间驻波关于小 $H^1$ 扰动的稳定性结果。