平面 Schrödinger-Poisson 系统的群不变解

本文研究如下平面 Schrödinger-Poisson 系统 \begin{equation*} \begin{cases} -\triangle{u}+V(x)u+\phi{(x)}|u|^{p-2}u=f(x,u),&\text{in $\mathbb{R}^{2}$}, \triangle{\phi}=|u|^{p},&\text{in $\mathbb{R}^{2}$}, \end{cases} \end{equation*} 其中 $p\geq2$ 为常数,$V(x)$ 与 $f(x,t)$ 为连续的镜像对称或旋转周期函数。通过假设非线性项 $f(x,t)$ 具有临界指数增长,我们得到上述系统的非平凡解或 Nehari 型基态解。我们的结果推广了 Cao_Dai_Zhang 与 Chen-Tang 的先前工作。我们处理了更一般的不带无穷远处约束的非线性项 $f$,且仅假设 (AR) 型条件以取代单调性假设。我们考虑了所有 $p\geq2$ 的情形,并展示了具有多种对称性的解的存在性。如同 Chen_Tang,我们采用一种山路结构以提供 Cerami 序列,具有两个创新点。首先,我们对对应于非局部项 $\phi|u|^{p-2}u$ 的能量泛函关键部分的符号作出关键观察;其次,我们采用新的 Moser 型函数以确保 Cerami 序列的有界性与紧性。此外,我们的方法也适用于次临界增长情形,并推广了近期 Liu_Radulescu_Tang_Zhang、Cao_Dai_Zhang、Chen_Tang 的工作。