Schrödinger-Born-Infeld 系统的扰动方法：次临界与临界情形下的解

在本文中，我们研究如下具有一般非线性的 Schr\"{o}dinger-Born-infeld 系统 $$\left\{ \begin{array}{ll} -\triangle u+u+\phi u=f(u)+\mu|u|^4u\,\,&\mbox{in}\,\,\R^3,\\ -\textrm{div}\displaystyle\bigg(\frac{\nabla\phi}{\sqrt{1-|\nabla\phi|^2}}\bigg)=u^2&\mbox{in}\,\,\R^3,\\ u(x)\rightarrow0,\,\,\phi(x)\rightarrow0,&\,\text{as}\,\,x\rightarrow\infty, \end{array} \right.$$ 其中 $\mu\geq0$ 且 $f\in C(\R,\R)$ 满足适当假设。该系统源于非线性 Schr\"{o}dinger 方程与 Born-Infeld 理论的适当耦合。我们采用一种新的扰动方法，证明上述系统在次临界与临界情形下非平凡解的存在性与多解性。我们强调，我们的结果覆盖了 $f(u)=|u|^{p-1}u$（其中 $p\in(2,{5}/{2}]$ 且 $\mu=0$）的情形，该情形在 \cite{Azzollini19} 中作为开放问题被遗留。