具有退化势的 Sobolev 临界 Dirac 方程的高拓扑型半经典态

在本文中，我们关注如下具有退化势的 Sobolev 临界 Dirac 方程的半经典态，\begin{align*} -\textnormal{i} \eps \alpha \cdot \nabla u + a \beta u + V(x) u=|u|^{q-2} u + |u| u \quad \mbox{in} \, \R^3, \end{align*} 其中 $u:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{C}^4$，$2<q<3$，$\eps>0$ 为小参数，$a>0$ 为常数，$\alpha=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，$\alpha_j$ 与 $\beta$ 为 $4 \times 4$ Pauli-Dirac 矩阵。我们构造了无穷序列的具有高能量、聚集于退化势 $V$ 的局部极小点附近的高拓扑型半经典态。这些解源于高维对称链接结构的极小极大刻画，对应于紧性条件失效能级处底层能量泛函的临界点。我们的方法是变分的，主要依赖于惩罚法、爆破论证以及局部型 Pohozaev 恒等式。