Hénon-Sobolev临界系统的正解分类

本文研究以下Hénon-Sobolev临界系统的正解：$$-\mathrm{div}(|x|^{-2a}\nabla u)=|x|^{-bp}|u|^{p-2}u+\nu\alpha|x|^{-bp}|u|^{\alpha-2}|v|^{\beta}u\quad\text{in }\mathbb{R}^n,$$ $$-\mathrm{div}(|x|^{-2a}\nabla v)=|x|^{-bp}|v|^{p-2}v+\nu\beta|x|^{-bp}|u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v\quad\text{in }\mathbb{R}^n,$$ $$u,v\in D_a^{1,2}(\mathbb{R}^n),$$ 其中$n\geq 3,-\infty< a<\frac{n-2}{2},a\leq b<a+1,p=\frac{2n}{n-2+2(b-a)},\nu>0$且$\alpha>1,\beta>1$满足$\alpha+\beta=p$。我们的结果根据参数$a$的符号分为两部分。对于$a\geq 0$，我们证明任何正解$(u,v)$是同步的，即$u$和$v$是解耦Hénon方程正解的常数倍：\begin{equation*} -\mathrm{div}(|x|^{-2a}\nabla w)=|x|^{-bp}|w|^{p-2}w. \end{equation*} 对于$a<0$且$b>a$，我们刻画了所有非负基态。此外，我们研究了非负同步解的非退化性。本文还探讨了一些一般的$k$耦合Hénon-Sobolev临界系统。