带质量亚临界耦合的齐次庞加莱尔文方程组的规范解

我们关注正解对以下耦合齐次庞加莱尔文方程组的定性性质：$$\begin{cases} -\Delta u+\lambda_1 u=\mu_1|u|^{2^*-2}u+\nu\alpha |u|^{\alpha-2}|v|^{\beta}u ~\hbox{in}~ \R^N,\\ -\Delta v+\lambda_2 v=\mu_2|v|^{2^*-2}v+\nu\beta |u|^{\alpha}|v|^{\beta-2}v ~\hbox{in}~ \R^N \end{cases}$$ 其中受质量约束 $\int_{\mathbb{R}^N}|u|^2 \ud x=a^2$ 和 $\int_{\mathbb{R}^N}|v|^2 \ud x=b^2$ 限制，$a>0,\,b>0,\,N=3,4$，且 $2^*:=\frac{2N}{N-2}$ 为 Sobolev 临界指数。本文的主要目标聚焦于质量混合情形，即 $\alpha>1,\beta>1,\alpha+\beta<2+\frac{4}{N}$。对于适当的小 $\nu>0$，我们证明上述方程组存在两个正解，其中一个为局部最小化解，另一个为山脊通过解。此外，还考虑了当 $\nu\to0^+$ 时解的渐近行为。我们的结果为 Bartsch 等人（Calc. Var. Partial Differential Equations 62(1), Paper No. 9, 34, 2023）提出的 Soave 类型开放性问题给出肯定答案。