涉及 $p$-Laplacian 的非线性方程稳定解的最优正则性

我们考虑 $\mathbb{R}^n$ 的光滑有界域中的方程 $-\Delta_p u=f(u)$，其中 $\Delta_p$ 是 $p$-Laplace 算子。已知当 $n\geq p+4p/(p-1)$ 时，存在无界稳定能量解的显式例子。相反，当 $n<p+4p/(p-1)$ 时，仅在径向情形或对 $f$ 施加强假设的情况下，稳定解才被证明是有界的。在本文中，我们解决了一个长期存在的开放问题：我们证明了当 $p\geq2$ 且满足最优条件 $n<p+4p/(p-1)$ 时，对于每个非负 $f\in C^1$，稳定解均成立内部 $C^\alpha$ 界。当 $p\in(1,2)$ 时，我们在非尖锐假设 $n<5p$ 下获得了相同的结果。当定义域严格凸时，这些内部估计导出了相关 Dirichlet 问题的稳定解和极值解的有界性。我们的工作将 Figalli、Ros-Oton、Serra 和第一作者关于经典 Laplacian 的近期结果扩展到了 $p$-Laplacian，后者确立了在最优范围 $n<10$ 内 $p=2$ 时稳定解的正则性。