子拉普拉斯算子无符号障碍型问题解的最优正则性

我们建立了如下方程解的最优 $C_{H}^{1,1}$ 内部正则性：$$\Delta_{H}u=f\chi_{\{u\ne0\}},$$ 其中 $\Delta_{H}$ 表示分层群中的子拉普拉斯算子。我们对 $f$ 假设最弱的正则性条件，即 $f*\Gamma$ 为 $C_{H}^{1,1}$，其中 $\Gamma$ 是 $\Delta_{H}$ 的基本解。$C_{H}^{1,1}$ 正则性按 Folland 和 Stein 的意义理解。在经典欧几里得背景下，上述问题的初步思想已见于 Sakai 1991 年的论文，并且也与求积域相关。作为我们结果的一个特例，当 $u$ 非负并满足上述方程时，我们恢复了分层群中障碍问题解的 $C_{H}^{1,1}$ 正则性，该结果此前由 Danielli、Garofalo 和 Salsa 建立。我们的正则性结果是尖锐的：它可视为 Andersson、Lindgren 和 Shahgholian 所得 $C^{1,1}$ 正则性结果的次椭圆对应。