最优切换问题中的最优正则性

本文研究了以下具有相互关联障碍的弱耦合系统解的最优正则性：\begin{equation*} \begin{cases} \min (-\Delta u^1+f^1, u^1-u^2+\psi^1)=0 \\ \min (-\Delta u^2+f^2, u^2-u^1+\psi^2)=0, \end{cases} \end{equation*} 该系统源于具有两种模式的最优切换问题。在假设零环集 $\mathscr{L}:= \{ \psi^1+\psi^2=0\}$ 是其内部的闭包的前提下，我们推导出了最小解的最优 $C^{1,1}$-正则性。该结果是最优的，我们提供了一个反例，表明若无假设 $\mathscr{L} = \overline{ \mathscr{L}^0}$，则 $C^{1,1}$-正则性不成立。