自由传输变分问题的最优正则性

本文研究 \cite{HS21} 中考虑的如下泛函：$$J(v):=\int_{B_1} A(x,u)|\nabla u|^2 +f(x,u)u+ Q(x)\lambda (u)\,dx$$ 其中 $A(x,u)= A_+(x)\chi_{\{u>0\}}+A_-(x) \chi _{\{u<0\}}$，$f(x,u)= f_+(x)\chi_{\{u>0\}}+f_-(x) \chi _{\{u<0\}}$ 且 $\lambda(x,u) = \lambda_+(x) \chi_{\{u>0\}} + \lambda_-(x) \chi_{\{u\le 0\}}$。当系数 $A_{\pm}$ 为连续函数且对某个 $0<\mu<1$ 满足 $\mu \le A_{\pm}\le \frac{1}{\mu}$，且 $f \in L^N(B_1)$、$Q$ 有界时，我们证明了上述泛函极小元的最优 $C^{0,1^-}$ 正则性（带有精确的 H"older 估计）。我们通过提出一种新的紧性论证与逼近理论来实现，该理论类似于 L. Caffarelli 在 \cite{Ca89} 中发展起来的用于处理完全非线性偏微分方程解的正则性理论。此外，我们引入 $\mathcal{T}_{a,b}$ 算子，使得能够将传输问题的极小元转移到 Alt-Caffarelli-Friedman 型泛函上（在小尺度下），从而得以研究 Bernoulli 型自由传输问题极小元的正则性理论。