随机偏微分方程解的空间平均渐近独立于解本身

设 $(u(t,x), t\geq 0, x\in \mathbb{R}^d)$ 是由高斯噪声驱动的随机热方程或波动方程的解，该噪声在时间上是白的，在空间变量上是白的或相关的。我们考虑解的空间平均 $F_{R}(t)= \frac{1}{\sigma_R}\int_{\vert x\vert \leq R} \left( u(t,x)-1\right) dx$，其中 $\sigma^2_R= \mathbf{E} \left(\int_{\vert x\vert \leq R} \left( u(t,x)-1\right) dx\right)^2$。已知当 $R$ 趋于无穷时，$F_R(t)$ 依分布收敛到一个标准高斯随机变量 $Z$。我们证明空间平均 $F_R(t)$ 实际上渐近独立于解本身，在任何时间和任何空间点，这意味着随机向量 $(F_R(t), u(t, x_0))$ 当 $R\to \infty$ 时依分布收敛到 $(Z, u(t, x_0))$，其中 $Z$ 是一个独立于 $u(t, x_0)$ 的标准正态随机变量。通过使用Stein-Malliavin微积分，我们还获得了该极限定理在Wasserstein距离下的收敛速度。